Kahan 求和

引入

Kahan 求和 算法，又名补偿求和或进位求和算法，是一个用来 降低有限精度浮点数序列累加值误差 的算法。它主要通过保持一个单独变量用来累积误差（常用变量名为）来完成的。

该算法主要由 William Kahan 于 1960s 发现。因为 Ivo Babuška 也曾独立提出了一个类似的算法，Kahan 求和算法又名为 Kahan–Babuška 求和算法。

舍入误差

在计算机程序中，我们需要用有限位数对实数做近似表示，如今的大多数计算机都使用 IEEE-754 规定的浮点数来作为这个近似表示。对于 $\frac{1}{3}$ ，由于我们不能在有限位数内对它进行精准表示，因此在使用 IEEE-754 表示法时，必须四舍五入一部分数值（truncate）。这种 舍入误差（Rounding off error）是浮点计算的一个特征。

在浮点加法计算中，交换律（commutativity）成立，但结合律（associativity）不成立。也就是说，但 $(a+b)+c \neq a+(b+c)$ 。因此在浮点序列加法计算中，我们可以从左到右一个个累加，也可以在原有顺序上，将他们两两分成一对。第二种算法会相对较慢并需要更多内存，也常被一些语言的特定求和函数使用，但相对结果更准确。

为了得到更准确的浮点累加结果，我们需要使用 Kahan 求和算法。

在计算 $S_{new}=S_{old}+a$ （为浮点序列的一个数值）时，定义实际计算加入的值为 $a_{eff}=S_{new}-S_{old}$ , 如果 $a_{eff}$ 比大，则证明有向上舍入误差；如果 $a_{eff}$ 比小，则证明有向下舍入误差。则舍入误差定义为 $E_{roundoff} = a_{eff} - a$ 。那么用来纠正这部分舍入误差的值就为 $a-a_{eff}$ , 即 $E_{roundoff}$ 的负值。定义是对丢失的低位进行运算补偿的变量，就可以得到 $c_{new} = c_{old} + (a - a_{eff})$ 。

过程

Kahan 求和算法主要通过一个单独变量用来累积误差。如下方参考代码所示，为最终返回的累加结果。是对丢失的低位进行运算补偿的变量（其被舍去的部分），也是 Kahan 求和算法中的必要变量。

因为大，小，所以的低位数丢失。抵消了的高阶部分，减去则会恢复负值（的低价部分）。因此代数值中始终为零。在下一轮迭代中，丢失的低位部分会被更新添加到。

实现

参考代码

float kahanSum(vector<float> nums) {
  float sum = 0.0f;
  float c = 0.0f;
  for (auto num : nums) {
    float y = num - c;
    float t = sum + y;
    c = (t - sum) - y;
    sum = t;
  }
  return sum;
}

习题

在 OI 中，Kahan 求和主要作为辅助工具存在，为计算结果提供误差更小的值。

例题 CodeForces Contest 800 Problem A. Voltage Keepsake

有个同时使用的设备。第个设备每秒使用 $a_{i}$ 单位的功率。这种用法是连续的。也就是说，在 $\lambda$ 秒内，设备将使用 $\lambda \times a_{i}$ 单位的功率。第个设备当前存储了 $b_{i}$ 单位的电力。所有设备都可以存储任意数量的电量。有一个可以插入任何单个设备的充电器。充电器每秒会为设备增加个单位的电量。这种充电是连续的。也就是说，如果将设备插入 $\lambda$ 秒，它将获得 $\lambda \times p$ 单位的功率。我们可以在任意时间单位内（包括实数）切换哪个设备正在充电（切换所需时间忽略不计）。求其中一个设备达到单位功率前，可以使用这些设备的最长时间。

例题 CodeForces Contest 504 Problem B. Misha and Permutations Summation

定义数字 $0, 1, \cdots, (n - 1)$ 的两个排列和的和为 $Perm((Ord(p)+Ord(q))\bmod n!)$ ，其中是数字 $0, 1, \cdots, (n-1)$ 的第个字典排列（从零开始计数），是字典序排列的个数。例如， $Perm(0) = (0, 1, \cdots , n - 2, n - 1)$ ， $Perm(n! - 1) = (n - 1, n-2,\cdots, 1,0))$ 。Misha 有两个排列和，找到它们的总和。

编程语言的求和

Python 的标准库指定了精确舍入求和的 fsum 函数可用于返回可迭代对象中值的准确浮点总和，它通过使用 Shewchuk 算法跟踪多个中间部分和来避免精度损失。

Julia 语言中，sum 函数的默认实现是成对求和，以获得高精度和良好的性能。同时外部库函数 sum_kbn 为需要更高精度的情况提供了 Neumaier 变体的实现，具体可见 KahanSummation.jl。

参考资料与注释

本页面最近更新：2023/6/27 13:39:08，更新历史
发现错误？想一起完善？在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：Enter-tainer, iamtwz, isdanni, StudyingFather, Tiphereth-A
本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用