15-puzzle

简介

15 - 拼图（英文：15-puzzle, 又名 Gem Puzzle，Boss Puzzle，Game of 15，Mystic Square，N-puzzle, etc）是一个滑块类游戏（英文：sliding puzzle）。滑块方盘的长宽均为 $4\times 4$ 个方块，其中 15 个位置放序号打乱的方块，剩下一个为空位。与空位同行或同列的方块可以通过水平或垂直滑动来移动。拼图的目标是按编号顺序排列方块。

15 - 拼图常见别称为 n - 拼图，其中数字指的是方盘中的方块总数。15 - 拼图的不同尺寸变体亦使用了类似的名称，例如拼图指的是置于 $3\times3$ 方盘中的个方块。但拼图也可以称为拼图，此处的 16 指的是方块容量。它的扩展问题有时也包括了 $n \times m$ 的滑动方盘。

15 - 拼图是涉及启发式算法建模的经典问题。此问题的常见形式是曼哈顿距离和错位方块的数量计算，二者都是可接受启发（英文：admissible heuristic），即它们永远不会高估剩余的移动次数，这确保了某些搜索算法（例如 A * 算法）的最优性。

注释

滑块游戏 是一类在平面上滑动方块以组成特定排列的智力游戏。常见的滑块游戏包括数字拼图、华容道和塞车时间。其中 15 - 拼图是最古老的滑块类游戏，发明者是 Noyes Chapman，该游戏风靡于 1880 年代。不像其它 tour 类的解谜游戏，滑块游戏禁止任何一个方块离开盘面，这个特性区别于重新排列类的解谜游戏。

定义

给定一个 $4 \times 4$ 的方盘，其中个方块随意排列。我们需要将它按照序号排列成下图所示的样子。移动规则为每次只能交换空方块和和其相邻一个方块的位置。常见问题为找到可解决此问题的最少步骤，计算错位方位的个数，或找出是和否能得到最终的有序排列。

①②③④

⑤⑥⑦⑧

⑨⑩⑪⑫

⑬⑭⑮口

可解性证明

Johnson & Story (1879) 证明，如果和都至少为，则逆向适用于大小为 $m\times n$ 的棋盘：通过从开始对和进行归纳证明，所有偶数排列都是可解的。Archer (1999) 给出了另一个证明，基于通过汉密尔顿路径定义等价类。

算法

寻找数字滑盘游戏的一个解相对容易，但寻找 最优解 是一个 NP 困难 问题。15-Puzzle 的最优解至多有 80 步；而 8-Puzzle 的最优解至多有 31 步。

N-Puzzle 支持常见的基于图的搜索算法，如广度优先搜索和深度优先搜索，同样我们也可以用 A * 搜索算法寻找最优解。启发式函数可以是

放错的方块的数量。
所有放错的方块到各自目标位置的欧几里得距离之和。
所有放错的方块到各自目标位置的曼哈顿距离之和。

群理论

因为 15 块的数字推盘游戏组合可以由「3 循环」（英文：3-cycles）产生，所以可以证明 15 块的数字推盘游戏可以用交错群 $A_{15}$ 表示。事实上，任何使用 $2\times k-1$ 块相同面积正方形方块的数字滑盘游戏皆可以以交错群 $A_{2k-1}$ 表示。

习题

参考资料与拓展阅读

15 puzzle - Wikipedia
jrdnjacobson,How to Solve the 15 Puzzle - instructables
Korf, R. E. (2000),"Recent Progress in the Design and Analysis of Admissible Heuristic Functions", in Choueiry, B. Y.; Walsh, T. (eds.), Abstraction, Reformulation, and Approximation (PDF), SARA 2000. Lecture Notes in Computer Science, vol. 1864, Springer, Berlin, Heidelberg, pp. 45–55, doi:10.1007/3-540-44914-0_3, ISBN 978-3-540-67839-7, retrieved 2010-04-26
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