线性同余方程

定义

形如

ax\equiv b\pmod n

的方程称为 线性同余方程（Linear Congruence Equation）。其中，、和为给定整数，为未知数。需要从区间中求解，当解不唯一时需要求出全体解。

用逆元求解

首先考虑简单的情况，当和互素（coprime 或 relatively prime）时，即 $\gcd(a, n) = 1$ 。

此时可以计算的逆元，并将方程的两边乘以的逆元，可以得到唯一解。

证明

x\equiv ba ^ {- 1} \pmod n

接下来考虑和不互素（not coprime），即 $\gcd(a, n) \ne 1$ 的情况。此时不一定有解。例如， $2x\equiv 1\pmod 4$ 没有解。

设 $g = \gcd(a, n)$ ，即和的最大公约数，其中和在本例中大于 1。

当不能被整除时无解。此时，对于任意的，方程 $ax\equiv b\pmod n$ 的左侧始终可被整除，而右侧不可被整除，因此无解。

如果整除，则通过将方程两边、和除以，得到一个新的方程：

a^{'}x\equiv b^{'} \pmod{n^{'}}

其中 $a^{'}$ 和 $n^{'}$ 已经互素，这种情形已经解决，于是得到 $x^{'}$ 作为的解。

很明显， $x^{'}$ 也将是原始方程的解。这不是唯一的解。可以看出，原始方程有如下个解：

x_i\equiv (x^{'} + i\cdot n^{'}) \pmod n \quad \text{for } i = 0 \ldots g-1

总之，线性同余方程的 解的数量 等于 $g = \gcd(a, n)$ 或等于。

用扩展欧几里得算法求解

根据以下两个定理，可以求出线性同余方程 $ax\equiv b \pmod n$ 的解。

定理 1：线性同余方程 $ax\equiv b \pmod n$ 可以改写为如下线性不定方程：

其中和是未知数。这两个方程是等价的，有整数解的充要条件为 $\gcd(a,n) \mid b$ 。

应用扩展欧几里德算法可以求解该线性不定方程。根据定理 1，对于线性不定方程，可以先用扩展欧几里得算法求出一组，也就是 $ax_0+nk_0=\gcd(a,n)$ ，然后两边同时除以 $\gcd(a,n)$ ，再乘。就得到了方程

a\dfrac{b}{\gcd(a,n)}x_0+n\dfrac{b}{\gcd(a,n)}k_0=b

于是找到方程的一个解。

定理 2：若 $\gcd(a,n)=1$ ，且、为方程的一组解，则该方程的任意解可表示为：

并且对任意整数都成立。

根据定理 2，可以从已求出的一个解，求出方程的所有解。实际问题中，往往要求出一个最小整数解，也就是一个特解

x=(x \bmod t+t) \bmod t

其中有

t=\dfrac{n}{\gcd(a,n)}

如果仔细考虑，用扩展欧几里得算法求解与用逆元求解，两种方法是等价的。

实现

代码实现

C++Python

int ex_gcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1;
    y = 0;
    return a;
  }
  int d = ex_gcd(b, a % b, x, y);
  int temp = x;
  x = y;
  y = temp - a / b * y;
  return d;
}

bool liEu(int a, int b, int c, int& x, int& y) {
  int d = ex_gcd(a, b, x, y);
  if (c % d != 0) return 0;
  int k = c / d;
  x *= k;
  y *= k;
  return 1;
}

def ex_gcd(a, b ,x, y):
  if b == 0:
      x = 1; y = 0
      return a
  d = ex_gcd(b, a % b, x, y)
  temp = x
  x = y
  y = temp - a // b * y
  return d

def liEu(a, b, c, x, y):
  d = ex_gcd(a, b, x, y)
  if c % d != 0:
      return 0
  k = c // d
  x = x * k
  y = y * k
  return 1

本页面主要译自博文 Модульное линейное уравнение первого порядка 与其英文翻译版 Linear Congruence Equation。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

习题

「NOIP2012」同余方程

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