内积和外积
本文介绍向量之间的简单运算。
在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于「inner product」和「outer product」两个词汇有着五花八门的翻译。
在物理学科，一般翻译成「标积」和「矢积」，表示运算的结果为标量和矢量。高中数学课本上「数量积」和「向量积」也采用了这种意译的办法。
在数学学科，通常也可以翻译成「内积」和「外积」，是两个名词的直译。「点乘」和「叉乘」是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。
在「点乘」运算中，经常省略运算的点符号，在线性代数中更是会直接看作矩阵乘法，不写点符号。
内积
内积的概念 对于任意维数的向量都适用。
已知两个向量 
就是这两个向量的 内积，也叫 点积 或 数量积。其中称
可以发现，这种运算得到的结果是一个标量，并不属于向量的线性运算。
在不引起混淆的情况下，内积的点号可以省略不写。如果在向量的右上角有上角标
内积满足交换律，即：
互相垂直的两个向量的内积，结果为
内积运算有以下应用：
判定两向量垂直
判定两向量共线
数量积的坐标运算
若
向量的模
两向量的夹角
二阶与三阶行列式
二阶与三阶行列式，可以作为行列式的较为简单的情形特殊定义。在微积分的最后一个部分场论部分，格林公式用到了二阶行列式，高斯公式用到了点乘，斯托克斯公式用到了三阶行列式。
二阶行列式可以视为四元函数，其定义为：
三阶行列式可以视为九元函数，其定义为：
一种特殊的记忆方法是采用「对角线法则」，对角线法则只适用于二阶与三阶行列式。
特别注意：四阶行列式展开后共有 24 项，并且副对角线一项的符号为正。如果强行应用三阶行列式的「对角线法则」，不仅项数不够，副对角线一项的符号也不正确，因此三阶行列式的「对角线法则」不适用于更高阶的行列式，更高阶的行列式也不适合使用直接展开法计算。
外积
外积是 三维向量特有的运算。
在物理学中，三维向量为默认与空间位置相关的向量，一律采用粗体表示。然而，物理学中与相对论相关的四维向量不会采用粗体，而是使用特殊的记号与下标。
在线性代数中，所有的向量都会用粗体表示，并且由于麻烦，并且线性代数中大多为向量与矩阵的运算，很难造成歧义，在手写时可以省略向量记号不写。
定义向量
注意到外积的模，联想到三角形面积计算公式
两个向量
向量的外积可以使用三阶行列式表示：
其中
对于二维向量，无法计算外积，但是仍然可以计算两向量张成的平行四边形面积：
记
外积满足 反交换律，即：
共线的两个三维向量的外积，结果为
根据上文的两个定义：
可以写出恒等式：
混合积
与外积一样，向量的混合积是 三维向量特有的运算。
设
向量的混合积可以使用三阶行列式表示：
向量的混合积可以用来计算四面体的体积：
混合积
有定理：三个三维向量
混合积有性质：
二重外积
三维向量的混合积是内积与外积的混搭，具有轮换对称性。三维向量和三维向量的外积还是三维向量，那么外积的外积是否存在相关结论？
先证明一个引理。
证明：由右手定则，
因此可以假设：
根据混合积的相关结论，上式两端同时对于
由前文推出的恒等式：
可以解得：
证毕。
在上文的证明中提到，
上述共面性有助于二重外积结论的记忆。可见，上文的引理为二重外积的特殊情况。
证明：这里只需考虑三个向量均为非零且不共线的情况，其他特例为显然的。
三维向量
所以有：
根据上文的引理有：
因此有：
证毕。
根据外积的反交换性，可以得到二重外积的两个公式：
可见，二重外积对于运算顺序有着严格的要求。
借助混合积与二重外积，还可以证明拉格朗日的恒等式。
证明：
可见，前文的恒等式
是拉格朗日的恒等式的特殊情形。
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