点/边连通度

定义

以下内容的定义，请参见图论相关概念：

Whitney 不等式（1932）给出了点连通度 $\lambda$ 、边连通度 $\kappa$ 和最小度 $\delta$ 之间的关系：

\kappa \le \lambda \le \delta

证明

直觉上，如果有一个大小为 $\lambda$ 的边割集，其中每一条边任选一个端点，就可以得到一个大小为 $\lambda$ 的点割集，所以第一个不等式成立。

与度最小的结点（如有多个，任选一个）相邻的所有边构成大小为 $\delta$ 的边割集，所以第二个不等式也成立。

这个不等式不能改进；换言之，对每个满足它的三元组，均可以找出满足这个三元组的图。

构造

把两个大小为 $\delta + 1$ 的团用 $\lambda$ 条边连起来，使两个团分别有 $\lambda$ 和 $\kappa$ 个不同的结点被连在这些边上。

由最大流最小割定理（又名 Ford–Fulkerson 定理）可推出，两点间的不相交（指两两没有公共边）路径的最大数量等于割集的最小大小（这个推论又叫 Menger 定理——译者注）。

以下图的边权均为。

枚举点对，以为源点，为汇点跑边权为的最大流。需要次最大流，如果使用 Edmonds–Karp 算法，复杂度为。使用 Dinic 算法可以更优，复杂度为 $O(|V|^2 |E| \min(|V|^{2/3}, |E|^{1/2}))$ 。

使用 Stoer–Wagner 算法只需跑一次无源汇最小割即可。复杂度为 $O(|V||E| + |V|^{2}\log|V|)$ ，一般可近似看作。

仍然枚举点对，这次把每个非源汇的点拆成两个点和，并连边。把原图中所有边换成两条边和。此时最大流等于、之间的最小点割集大小（又称局部点连通度）。复杂度与用最大流计算边连通度相同。

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